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摘要：测量下限是光散射颗粒测试技术的重要指标。本文对颗粒散射光的光强分布进行了细致比较，对Mie散射向Rayleigh散射趋近的情况进行了分析，本文通过对Mie散射理论的深入研究和计算机模拟证实，对于氦氖激光，当测量粒径在0.2微米以下，Mie散射的解迅速趋近于Rayleigh散射的解，其光强分布函数变得简单，特别是在50纳米以下，我们无法用通常的静态光散射法从光强空间分布函数中提取足够的信息来计算颗粒直径。本文的结果对各种光散射颗粒测试设备的研究有参考价值。
关键词：颗粒；粒度；光散射；Mie理论；测量下限
随着生产力的发展，科技的进步，人们希望准确测量更小的颗粒，对颗粒测试的下限提出了更高的要求。近几年国内外出现了多种静态光散射仪器，测量下限差别很大。究竟静态光散射测量下限在那里？这是一个理论问题，也是一个人们十分关心的实际问题。
静态光散射粒度分析，主要是依据不同大小颗粒的散射能量的空间分布（散射谱）的差异确定颗粒大小。如果散射谱的空间分布差异消失，则静态光散射将不能测量颗粒粒度，应代之以动态光散射或其他分析技术。Mie散射理论是颗粒光散射的基础理论，因此颗粒测量下限的确定，实质上决定于Mie散射理论能谱的研究。本文以Mie理论为依据，通过理论分析和进行计算机模拟，确定测量下限的参考范围。
1 Mie散射基本公式
Mie理论是对处于均匀介质中的各向均匀同性的单个介质球在单色平行光照射下的Maxwell方程边界条件的严格数学解。入射光为完全偏振光时（ 为散射角， 为入射光振动面与散射面之间的夹角），垂直散射面的散射光强Ir和平行于散射面的散射光强Il以及总散射光强IS的表达式分别为：
Ir = （1）
Il= （2）
Is= （3）
其中： Is = Ir + Il , = , =
、 为散射振幅函数：
= （4）
= （5）
式中an、bn为Mie散射系数，表达式为:
（6）
（7）
m是颗粒折射率，a为颗粒尺寸参数:a =πD/λ
（8）
（9）
z表示ma或a， 、 ，分别表示半整数阶的贝塞尔函数和第二类汉克尔函数。 表示 .和 分别对各自变量的微商。
式中πn、τn, 为散射角函数，表达式为：
（10）
（cos（θ））是为一阶缔合勒让德函数。
当颗粒直径远d小于入射光波长λ时，Mie散射为近似Rayleigh散射，其散射光强为：
（11）
2 Mie散射与Rayleigh散射光分布图像形状的比较：
通过散射光分布图像的形状来判断颗粒的直径是一种有效且易于操作的分辨方法，但是这种方法有一定的适用范围，只有在图像形状随粒径有明显变化时才能使用。
首先我们把散射光强都进行了归一化处理，这样做可以排除散射光强度的影响，只关注散射光分布的图像的形状。为了便于讨论，本文在编程计算时均假设入射光源是较为常用的波长为0.6328微米的激光器，对于其他波长的光源易有类似结论。
图3
图4
图1
图2
如图1-图5分别为Rayleigh散射和粒径为2nm-1960nm的Mie散射在极坐标下的归一化光强，图中径向为相对光强，横向为散射角，散射角从0度到360度，入射光波长为632.8nm。
图5
通过观察可以发现：
（1） d取2-50nm时，Mie散射与Raileigh散射的图像的光强分布图像很相似，尤其是2nm的Mie散射图像（图2）和Raileigh散射的图像（图1）用肉眼难以区分。前向散射（0度至90度和270度至360度）和后向散射（90度至270度）基本对称。整个图像呈一个“豆瓣形”。
（2） d取50-200nm时，Mie散射的光强分布图像逐渐变为前向大于后向，当d=200nm时,大部分光散射已集中在前向，不再前后对称。（如图3）
（3） d取340nm-1960nm时，前向散射远大于后向散射，而且在后向逐渐趋于复杂的花瓣状分布。（如图4，图5）
3 定量比较Mie散射与Rayleigh散射光分布
构造差异函数
其中：θ为散射角，从1度取至360度；d为粒径；Imie（d, θ）为粒径为d时在θ角上的Mie散射归一化光强；Iray（θ）为在θ角上的Rayleigh散射归一化光强。
显然，Mie散射的光强分布图与Rayleigh散射光强分布图越接近F（d）越小，F（d）表征Mie散射的光强分布与Rayleigh散射光强分布图像形状的接近程度。
图6
图7
编制程序进行计算，可得F（d）图像如下：
可以观察到差异函数曲线在d相对小时比较平滑（如图6的起始部分和图7），当d增大时F（d）迅速增大，从刚开始的0.1-0.2增至150以上，相差三个数量级。而且通过进一步的计算我们可以发现ｄ＞1000时，F（d）增大得更为迅速。F（d）越大说明图像变化越大，此时图像更容易分辨，测量误差较小；反之，F（d）越小说明图像变化越小，此时图像较难分辨，测量误差较大。
根据不同的测量精度要求，可得不同的测量范围，精度越高，范围越小。一般来讲：
（1） d取200nm以上时，Mie散射的光强分布图像与Rayleigh散射的光强分布图像差别较大。此时，Mie散射的光强分布图像的形状可提供里较多的粒度信息，可以用来判断颗粒粒径。
（2） d取50-200nm时，Mie散射的光强分布图像与Rayleigh散射的光强分布图像差异很小，据此提取粒度信息非常困难。
（1） d<50nm时，Mie散射与Rayleigh散射的光强分布图像很相似，静态光散射已经无法提取颗粒粒度信息。
图8 当散射角为0,45,90,135,180度时散射光强I随d变化，d取10至1000nm
4 对散射光强度的讨论
虽然当d较小时，Mie散射的光强分布图像与Rayleigh散射的光强分布图像很相似，不易用散射的光强分布图像的形状来判断粒径，但我们在理论上可以利用其他的特点来求解粒径。
如图8：当d较小时某角度的散射光强随d的增大而迅速增大，并具有相当好的单调性，如图8的前部。图8的Y轴是指数坐标，可见散射光强随d的增加是非常迅速的。在图像上的单调区域，我们可以根据颗粒布朗运动与颗粒大小相关的动态光散射原理，采用光子相关技术获得关于颗粒大小的信息。
5 结论
由以上分析可知静态光散射测定颗粒粒径的下限应该在50nm-200nm之间，Z佳测定范围在0.2微米以上。增加附加探头也不能改变此测量下限。
参考文献
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Abstract: The lower bound is the key point of the light scattering technique. In this article, the intensity distributions of different scattering light are compared, the relationship between Mie scattering and Rayleigh scattering is investigated. By an in-depth study on Mie theory and computer simulation, the conclusion was drawn that, for He-Ne laser, when the survey particle size is less than 0.2 micron, the Mie scattering solution draws close in the Rayleigh scattering solution rapidly, its intensity distribution function becomes simply. Especially for the particle less than 50 nanometer, we are unable to distill enough information from light intensity spatial distribution function to calculate the particle diameter with static light scattering, which is used usually. This result is of guidance significance to the research of the light scattering equipment.
Keywords: particle; granularity; light scattering; Mie theory; lower bound
