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一阶系统的阶跃响应有什么特点

skyyang200801 2015-06-08
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love_xue_58
一、一阶系统
  用一阶微分方程描述的系统。

二、一阶系统典型的数学模型 

   

三、典型输入响应
1.单位阶跃响应       
           。

  y(t)的特点:
  (1)由动态分量和稳态分量两部分组成。
  (2)是一单调上升的指数曲线。
  (3)当t=T时,y=0.632。
  (4)曲线的初始斜率为1/T。
  性能分析:
  (1)超调量σ% 不存在。
  (2)ts=3T或4T。

2.单位斜坡响应
           
  y(t)的特点:
  (1)由动态分量和稳态分量两部分组成。
  (2)输入与输出之间存在跟踪误差,且误差 值等于系统时间常数“T”。

3.单位抛物线响应

            

  y(t)的特点:
  输入与输出之间存在误差为无穷大,这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。

4.单位脉冲响应
          
  y(t)的特点:
     Y(∞) 为t→∞ 时的输出值。
  对一阶系统典型输入响应的两点说明:
  (1)当输入信号为单位抛物线信号时,输出无法跟踪输入。
  (2)三种响应之间的关系:系统对输入信号微分(积分)的响应,就等于该输入信号响应的微分(积分)。

四、二阶系统典型的数学模型
  例:
            
  对应的系统结构图:
            

  对应的微分方程:
  二阶系统典型的数学模型:
  开环传递函数
            
  开环传递函数
            

五、典型二阶系统的单位阶跃响应
  在初始条件为0下,输入单位阶跃信号时
                      
  特征方程:
  特征方程的根:

  二阶系统响应特性取决于ξ 和 wn两个参数,在ξ 不变情况下取决于 wn 。
1.过阻尼(ξ >1)的情况
  特征根及分布情况:
          
  阶跃响应: 
  响应曲线:     
2.欠阻尼(ξ <1)的情况
  特征根及分布情况:
             
  阶跃响应:     
  响应曲线:     
3.临界阻尼 (ξ =1)的情况
  特征根及分布情况:
  阶跃响应:
  响应曲线:

4.无阻尼 (ξ =0)的情况
  特征根及分布情况:
  阶跃响应:
  响应曲线:
结论:
1、不同阻尼比有不同的响应,决定系统的动态性能。
2、实际工程系统只有在 0< ξ< 1才具有现实意义。

六、二阶系统动态特性指标

  二阶系统的闭环传递函数为:
                
  对应的单位阶跃响应为:
                
  当阻尼比为 0< ξ< 1时,则系统响应如图
                 

1.上升时间 :在暂态过程中diyi次达到稳态值的时间。
  对于二阶系统,假定情况 0< ξ< 1下,暂态响应:
                    
  令t=tr 时,则y(tr)=1
  经整理得  

2.Z大超调量σ% :暂态过程中被控量的Z大数超过稳态值的百分数。

  即:   
  Z大超调量发生在diyi个周期中时刻 t=ttp ,叫 tp 峰值时间。
  在 t=tp 时刻对y(t) 求导,令其等于零。
  经整理得  
  将其代入超调量公式得  
3.调节时间 ts :输出量y(t) 与稳态值y(∞) 之间的偏差达到允许范围(±2%~±5%),并维持在允许范围内所需要的时间。
             
结论:
  若使二阶系统具有满意的性能指标,必须选合适的 ξ,wn 。wn 增大可使t s 下降,可以通过提高开环放大系数k来实现;增大阻尼比,可减小振荡,可通过降低开环放大系数实现。
  例 有一位置随动系统,结构图如下图所示,其中K=4。
  (1)求该系统的自然振荡角频率和阻尼比;
  (2)求该系统的超调量和调节时间;
  (3)若要阻尼比等于0.707,应怎样改变系统放大倍数K?
                
  解(1)系统的闭环传递函数为
                 
  写成标准形式 
  可知 
 (2)超调量和调节时间
            
  (3)要求ξ=0.707 时,
             

七、提高二阶系统动态性能的方法
1.比例——微分(PD)串联校正
  未加校正网络前:
            

  加校正网络后:
           
 校正后的等效阻尼系数:
           
2.输出量微分负反馈并联校正
  未加校正网络前:
         

  加校正网络后:
          

  两种校正方法校正后等效阻尼系数:
                    
  由于 
  可得 
  由于阻尼系数上升,超调量下降,从而提高了系统的动态性能。
7 0 2015-06-09 0条评论 回复
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