什么是dea投影原理

DEA方法的特点：
适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有优势。DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的Z优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得Z优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性。
DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式。

我们用一个包括五个DMU（公司）的简单例子阐述规模报酬不变投入主导型的数据包络分析。每个DMU都是两投入一产出，数据如下：
表 1规模报酬不变的DEA例子数据

这个例子的投入产出比率在数据6中绘出，同时还汇出了DEA的同等式12对应的前沿。我们可以记在心里，然而，这个DEA前沿是对5个DMU每个都计算一次线性规划的结果。例如，对于DMU3我们可以这样重新书写等式12.
minθ，λθ，
st -y3+(y1λ1+y2λ2+y3λ3+y4λ4+y5λ5)≥0，
θx13-(x11λ1+x12λ2+x13λ3+x14λ4+x15λ5)≥0，
θx23-(x21λ1+x22λ2+x23λ3+x24λ4+x25λ5)≥0，
λ≥0， （14）
whereλ=(λ1，λ2，λ3，λ4，λ5)′.
θ和λ的值在表2第三行中提供了Z小的θ值。我们注意到DMU3的技术效率值是0.833。DMU3可以在不减少产出的情况下将投入降低16.7%。这就意味着应该在数据6的 3’点生产。这个估计点3’在DMU2和DMU5的连线上，它被认为是点3的对应点。他们定义了前沿相关部分的所在（例如与DMU3相关的）也就定义了DMU3的效率生产点。点3’是点2和点5的线性组合，线性组合的权重就是表2第三行的λ值。
数据 6
规模报酬不变投入主导型DEA例子
表2
规模报酬不变投入主导型DEA的结果
很多研究都讨论目标和对应点。DMU的目标也就是对应的效率投影点3’。这等于0.833×(2，2)= (1.666，1.666)。因此，DMU3要得到3单元的产出就得要用3×(1.666，1.666)=(5，5)单元的两种投入
人们可以对其他各个无效率的DMU进行类似的讨论。DMU4的效率指数是0.714，同DMU3一样有类似的对应点。DMU1的效率指数是0.5，DMU2就是他的效率的对应点。我们可以注意到，DMU1的估计点在效率部分的上端，这个效率部分平行于x2的轴。因此，它不代表效率点（根据Koopman的定义。）因为我们可以减低投入x2的0.5个单位（因此生产点就在点2）仍旧能得到相同数量的产出。因此DMU1可以说为投入放射性浪费了50%，并且有0.5单元的x2的（非放射性）投入松弛变量。这就导致了目标(x1=1，x2=2)。那就是相对应的点2.
3.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 规模收益变化模型（VRS）和规模效率
CRS的假设仅仅在所有的DMU都在Z优的规模上运作的时候才合适（例如：LRAC曲线上的一个相应的平面部分）。不完全竞争和约束，财务等等，可能导致DMU不在Z合适的规模上运作。Banker，Charnes and Cooper(1984)拓展了规模报酬不变的DEA模型为规模报酬变化的情形。当DMU没有在Z优的规模上运作的时候，CRS说明书的使用可能会导致技术效率的测度被规模效率所混淆。VRS模型说明书将会允许剔除规模效率影响的技术效率的计算。
CRS线性规划模型可以通过增加凸性约束很容易的修改成VRS模型。对等式12增加的凸性约束为：N1’λ=1 可以得到，

minθ，λθ，
st -yi+Yλ≥0，
θxi-Xλ≥0，
N1’λ=1
λ≥0， （15）
N1是所有的N×1的矩阵。这种方法形成了一个凸面，他能够比CRS的圆锥形的面更紧密的包络所有的数据，因此获得的技术效率比使用CRS模型获得的技术效率高或者是相等的。VRS规说明书是20世纪Z受欢迎的说明书。

Calculation of Scale Efficiencies 规模效率的计算
许多研究把从CRS模型获得的技术效率分解成了两部分，一部分是因为规模无效率，一部分是因为纯技术无效。这可以在相同的数据上通过实施CRS和VRS两个DEA模型来做到。如果对于一个特定的DMU，两个技术效率不同，这就证明这个DMU存在规模无效。规模无效可以通过VRS的技术效率和CRS的技术效率的不同来计算。
数据7试图阐述这一问题。在这个数据里面我们有一投入一产出的例子，并且我们画出了VRS和CRS的效率前沿。在CRS的投入主导型技术无效里，P点的距离是PPC，而在VRS模型里技术无效是PPV。两者的不同PCPV，就是规模无效率。我们可以用比率效率测度来表示这些。
TEI，CRS=APC/AP
TEI，VRS=APV/AP
SEI=APC/APV
所有的这些测度都在0~1之间。我们也可以注意到，

TEI，CRS=TEI，VRS×SEI
因为
APC/AP=(APV/AP)×(APC/APV).
这就是CRS的技术效率可以分解称纯技术效率和规模效率。
数据 7
DEA中规模经济的计算
规模效率方法的一个缺点就是他的值不能反映DMU是否运行在规模报酬递增或者规模报酬递减的领域里。这可以通过运行一个非规模报酬递增（NIRS）的额外的DEA模型来确定。这可以通过改变等式15的DEA模型来做到，将等式15的N1’λ=1的限制替换成N1’λ≤1可以得到
minθ，λθ，
st -yi+Yλ≥0，
θxi-Xλ≥0，
N1’λ≤1
λ≥0， （16）
NIRS DEA前沿在数据7中绘出。一个DMU的规模无效率（例如：由于规模递增或者规模递减）的类型可以通过看NIRS的技术效率值与VRS的技术效率值是否一致确定。如果不相等（就是数据7点P 的例子），那么这个DMU就存在规模报酬递增。如果他们相等（就是数据7点Q的例子），规模报酬递减适用。An example of this approach applied to international airlines is provided in BIE(1994). BIE(1994)提供的国际航线的例子适用于这个方法。
Example 2例子2
这是一个简单的包括5个公司的例子，每个公司都用一种单一的投入生产单一的产品。数据在表3中列出，VRS和CRS投入主导型DEA模型的结果在表4中列出，在数据8中画出。假设我们使用投入主导型，效率通过数据8可以水平的测出。当我们假设是规模报酬不变的时候，我们观测到公司3是唯yi的有效率的公司（在DEA的效率前沿上），但是当我们假设规模报酬变化的时候，公司1，3，5都是有效的。
不同的效率方法的计算可以通过使用公司2来展示，因为公司2在CRS和VRS两种模型下技术效率都是无效的。
CRS的技术效率等于2/4=0.5，VRS的技术效率是2.5/4=0.625，规模效率等于CRS的技术效率和VRS的技术效率的比率，那就是0.5/0.625=0.8。我们也可以观察到，公司2在VRS的效率前沿的规模报酬递增阶段。
表 3
规模报酬变化的DEA模型的例子数据
表 4
VRS投入主导型DEA的结果
数据8
VRS投入主导型DEA例子
3.3 Input and Output Orientations 投入和产出主导型
在上面的投入主导型模型里面，我们在3.1和3.2部分讨论过的，这个模型试图把技术无效定义为按比例降低浪费的投入。这相当于Farrell基于投入方法计算的技术无效。正如在2.2部分所讨论的，我们也可能把技术无效作为按比例的增加产出来计算。在规模报酬不变的情况下两种方法的值是相同的，但是当规模报酬变化的时候就是不相同的（见数据3）。假设线性规划模型不会受到联立方程偏见这样的统计问题。合适方向的选择不会像计量经济学的估计例子那样至关重要。在很多的研究中，分析都倾向于投入主导型模型，因为很多的DMU有特别的命令需要满足（比如发电）。因此投入的数量看起来是主要决定的变量，尽管这个论点可能不是在所有的工业中都是强烈的。在一些工业中，DMU可能给定了固定数量的资源，被要求生产尽可能多的产出。在这种情况下，产出主导型就是比较合适的。必要的是我们选择方向的根据是那些数量是管理者能Z大限度的控制的。进一步讲，在很多情况下，你会发现方向的选择会对得到的数据产生微弱的影响。(e.g.see Coelli and Perelman 1996).
产出主导型的模型和投入主导型的模型非常的相似。考虑下面的产出主导型的VRS模型的例子。

maxφ，λφ，
st -φyi+Yλ≥0，
xi-Xλ≥0，
N1’λ=1
λ≥0， （17）
其中1≤φ<∞，φ-1就是第i个DMU在保持投入数量不变的前提下，产出所能增加的比例。注意，φ-1定义了在0~1之间变动的技术效率指数（这就是DEAP软件得出的产出主导型的技术效率）一个产出主导型的DEA的两个产出的例子，可以由一个分段线性产出可能曲线代表，正如数据8所展示的那样。

注意，观测点在曲线的下方，曲线的一部分和坐标轴成直角，当生产点通过辐射状的膨胀产出线投影到这部分曲线时，就要计算产出的松弛变量。
例如点P 投影到点P’点，P’点在前沿，但是却不是效率前沿上，因为在不增加任何产出的情况下，产品Y1可以通过AP’增加产量。AP’就是产出y1的产出松弛变量。
有一点需要强调，那就是产出主导型和投入主导型模型将会通过定义准确的估计相同的前沿，，识别出同一个DMU作为Z有效率的。对于无效率的DMU的效率测度方法在两个方法可能是不同的。两种方法我们将在数据3的第二部分展示，在那我们能观察到仅当规模收益不变时两者才能提供相同的效率值。
数据 8
产主导型的DEA
3.4 Price Information and Allocative Efficiency 价格信息和配置效率
如果我们有价格的信息，我们就会考虑行为目标，比如成本Z小或者产出Z大，这样我们就既可以测度技术效率又可以测度配置效率了。对于VRS的成本Z小化的例子，我们将使用等式15包含的投入主导型的DEA模型来计算技术效率。我们然后运行下面的成本Z小化的DEA模型。

minλ，xi* wi’xi*，
st -yi+Yλ≥0，
xi*-Xλ≥0，
N1’λ=1
λ≥0， （23）
其中wi是第i个DMU的投入价格矩阵，xi*（由线性规划模型计算出）是在给定的投入价格wi和产出水平yi的情况下，能使第i个DMU达到成本Z小化的投入数量。总的第i个DMU的成本效率或者是经济效率就可以这样计算
CE=wi’xi*/wi’xi。
那就是用成本Z小的比例观测成本。我们然后可以运用等式4去计算配置效率残余，为

AE=CE/TE。
注意，这种计算方法不会对配置效率的测度产生任何松弛变量。这在松弛变量反映不合适投入比例的背景下总是合理的。
我们也注意到我们也可以用同样的方式考虑产出混合选择的收入Z大化和配置无效率。详见Lovell(1993，p33)对此的讨论。要注意这个收益效率模型在DEAP里面不能实施
Example 3 例子3
在这个例子里面我们使用例子1里面的数据，并增加信息，就是所有的公司投入1和投入2的价格分别都是1和3.因此我们在数据6上画一条斜率为-1/3的成本曲线，他在数据9上与等产量曲线相切。从表中我们可以看到公司5是唯yi成本有效率的公司，并且所有的其他公司在某种程度上都存在配置无效率。各种不同的成本效率和配置效率都在表5中列出了。这些效率的计算可以用公司3来展示。我们早就发现公司3的技术效率是通过从原点（O）到3的射线计算的，他的比率就是0到点3’的距离比上0到点3的距离，等于0.833。配置效率就是0到3’’的距离比上0到3’的距离为0.9。成本效率就是0到3’’的距离比上0到3的距离为0.75。我们也可以这样计算0.833×0.9=0.750。
数据9
CRS成本效率DEA例子

表 5
CRS成本效率DEA的结果
3.5 Panel Data，DEA and the Malmquist Index 面板数据，DEA和Malmquist指数
当我们有面板数据的时候，我们就可以使用类似DEA的线性规划和一个（基于投入或者产出）Malmquist TFP指数来测度生产力的变化，并把生产力的变化分解成技术进步和技术效率的变化。
Fare et al(1994)定义了一个基于产出的Malmquist生产力指数如下：

它代表和生产点(xt，yt)相比较的生产点(xt+1，yt+1)的生产力。比1大的值代表从t到t+1时期的一个正的TFP增长。事实上，这个指数就是两个基于产出的Malmquist TFP指数的等比中项。一个指数使用t时期的技术和另一个时期t+1的技术指数。为了计算等式24，我们必须计算有四个部分的函数，他包含四个线性规划（他们的构造类似于计算Farrell的技术效率的方法。）的问题。
我们假设规模报酬不变（我们之后会进一步的分解来观察规模效率的问题）
用于计算d0t(xt，yt)的CRS产出主导的线性规划等同于等式17，不同的是VRS的限制被移除，却包含时间下标。就是
[d0t(xt，yt)]-1 =maxφ，λφ，
St -φyit+Ytλ≥0，
xit-Xtλ≥0，
λ≥0， （25）
其他三个线性规划问题就是这个的简单变体：

[d0t+1(xt+1，yt+1)]-1=maxφ，λφ，
St -φyi，t+1+Yt+1λ≥0，
xi，t+1-Xt+1λ≥0，
λ≥0， （26）
[d0t(xt+1，yt+1)]-1=maxφ，λφ，
St -φyi，t+1+Ytλ≥0，
xi，t+1-Xtλ≥0，
λ≥0， （27）
[d0t+1(xt，yt)]-1=maxφ，λφ，
st -φyit+Yt+1λ≥0，
xit-Xt+1λ≥0，
λ≥0， （28）
注意线性规划模型27和28，生产点的技术是不同时期进行对比的，φ参数如同计算Farrell效率一样需要≥1。点可能在可行的生产组合上方。这种情况Z可能在线性规划27中，当t+1时期的生产点和t时期的生产点的技术进行对比时发生。如果技术进步发生了，φ<1的值就是可能的。注意如果发生技术退步，这种情况也可能在线性规划28里面发生，但是技术退步发生的可能性很小。

我们要记住点φ和λ，因为他们在四个线性规划里面的值可能是不同的。
进一步，上述四个线性规划必须对样本中的每个公司都进行计算。因此，如果你有20个公司，两个阶段，你就要进行80个线性规划的运算。也要注意到，当你增加了额外的时间，你必须对每个公司计算额外的三个线性规划（去构造一个环比指数）。如果你有T个时间，你必须对每个样本公司计算(3T-2)个线性规划。
因此，如果你有N个公司，你就必须计算N×(3T-2)个线性规划。例如，当N=10个公司，T=10个时间，这就要计算20×(3×10-2)=560个线性规划。
每个公司对于每个相邻的时间的结果可以列成表。或者可以提出简要的跨越时间或者空间的措施。
Scale Efficiency 规模效率
上面的方法可以进行延伸，我们把（CRS）技术效率分解为规模效率和纯（VRS）技术效率两个部分。这就包括计算两个额外的线性规划（当对比两个生产点的时候）这包括重复计算包含了凸性限制(N1’λ=1)的线性规划25和26.这就是我们要计算VRS（而不是CRS）的效率函数技术效率。然后我们可以利用CRS和VRS的值计算规模效率残值，使用3.2部分的方法。对于有N个公司和T个时间的情况，我们就要把线性规划次数从N×(3T-2)增加到N×(4T-2)。详见Fare et al(1994，p75)关于规模效率的更多论述。
Example 4 例子4
在这个例子里面我们使用例子2的数据。并额外的增加一年的数据。这个数据在表6中列出，也在数据9中描绘了。数据9中也画出了两个时间的CRS和VRS DEA模型的前沿。不同的距离（技术效率）需要我们计算Malmquist指数，Malmquist指数也在表5.4部分的表10c中列出了。
表 6
Malmquist DEA的例子数据
数据 8
VRS投入主导型的DEA例子