材料力学教学实验中的不确定度分析

　　关键词 材料力学实验，不确定度

　　作为材料的拉伸、压缩和弯曲等力学性能测定，其测量不确定度受诸多因素的影响：如材料的均匀性;试样的形状和制备方法;试样的夹持方式;试样的加载同轴度;试样尺寸的测量、引伸计标距、力和变形测定的误差;试验机的数据采集速率及试验软件;试验温度、加载速率等等。

　　上述影响测量不确定度的诸多因素可分为两类：一类是与材料无关的参数，如力、变形(位移)、试样标距和横截面积的测量误差，采样速率和试验软件的影响;一类是与材料有关的参数，如材料的均匀性、试验速率(应变速率或应力速率)带来的影响。本测量不确定度分析主要针对与材料无关的参数。

　　弹性模量是材料*稳定的常数，但影响其测量不确定度的误差因素也*多。下面以测定拉伸弹性模量E为例给出测量不确定度评定与表示(即误差分析),其它力学性能的测量不确定度也可按类似方法进行评定与表示。

　　2 测量方法和数学模型

　　2.1 测量方法

　　在材料力学实验的拉伸试验中，一般采用圆形截面试样，利用微机控制电子式万能试验机以受控的速率对试样施加拉力，用引伸计测量试样标距内的伸长，绘制(测量)试样拉伸过程中力和变形曲线，以测定有关力学性能。如上屈服强度ReH、下屈服强度ReL和抗拉强度Rm仅取决于力和试样横截面积的测量误差，而规定非比例延伸强度Rp和弹性模量E的测定却取决于力、变形、标距和试样横截面积的测量误差。表1给出GB/T228-2002《金属材料 室温拉伸试验方法》和GB/T8653-1988《金属杨氏模量、弦线模量、切线模量和泊松比试验方法(静态法)》规定的测定拉伸试验数据的*大允许测量误差。

　　表1 GB/T 228和GB/T 8653规定的拉伸试验数据的*大允许测量误差

　　参 数 拉伸性能，误差(%)

　　ReH ReL Rm Rp E

　　力 F 1 1 1 1 1

　　变形△L - - - 1 1

　　标距Le - - - 1 1

　　横截面积S0 1 1 1 1 1

　　2.2 数学模型

　　材料的拉伸弹性模量E是材料在弹性范围内应力与应变之比。在力-变形曲线的弹性直线段内，取试验力F，测量出引伸计标距Le的相应伸长∆L，即可求得弹性模量E：

　　…………………………… ⑴

　　式中：E表示材料的拉伸弹性模量，GPa;

　　F表示拉伸试验力，N;

　　Le表示引伸计标距，mm;

　　S平均为试样标距部分的原始横截面积，mm2;

　　∆L为试样标距部分的伸长，mm;

　　T为试验温度;

　　为应变速率。

　　在试验过程中，温度和应变(或应力)速率必须保持在一定限度内。式⑴就是在GB/T 228和GB/T8653允许的温度和应变(或应力)速率下，拉伸弹性模量E测量过程的数学模型。

　　2.3 不确定度计算

　　由于试验一般都是在同一试验室同一时间或较短时间内完成的，室温的变化较小，温度效应修正及其所引入的标准不确定度uT可以忽略不计。至于应变(应力)速率效应，其敏感性与被测材料相关，又由于试验时控制在同一速率范围，故应变速率效应修正的不确定度分量,暂未列入测量不确定度分析范围。

　　在式⑴中，因各输入量彼此独立，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》不确定度传播率，E的不确定度按式⑵计算：

　　…… ⑵

　　则相对标准不确定度：

　　则相对合成标准不确定度为：

　　3 标准不确定度分量

　　影响弹性模量E测量不确定度的分量包括：力测量不确定度分量uF;引伸计标距测量不确定度分量uLe;横截面积测量不确定分量;变形测量不确定度分量u∆L。

　　在JJF1059中测量不确定度评定分为两类：A和B类。A类标准不确定度分量的估计方差，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值。B类标准不确定度分量的估计方差，则是根据有关信息(包括以前的测量数据和经验、检定证书提供的数据和准确度等级、有关国家标准给出的测量误差等)来评定的，即基于事件发生的可信程度(主观概率或先验概率)通过一个假定的概率密度函数得到的。

　　a) 力标准不确定度

　　微机控制电子式万能试验机的力值准确度为1级(即1级试验机)，力示值误差为±1.0 %，可认为示值出现在±1.0%范围内的任何处都是等概率的，而落在该范围外的概率基本为零，假设为矩形(均匀)分布。由JJF 1059表3可知，所以试验机的B类相对标准不确定度 为：

　　1级试验机又是借助于0.3级标准测力仪进行校准的，该校准源的不确定度为0.3%，其置信因子为2，故由此引入的B类相对标准不确定度 为：

　　计算机数据采集系统采集力值时引入的不确定度，与采样速率及系统分辨力有关。在满足*小数据采样速率条件下，根据实验可得到由计算机数据采集系统所引入的B类相对标准不确定度为：

　　鉴于试验机、标准测力仪和计算机数据采集系统采集力值影响FeL这三个不确定度分量彼此无关，所以力测量相对标准不确定度uFr可合成为：

　　b) 引伸计标距测量不确定度

　　微机控制电子式万能试验机配置的引伸计为1级准确度。按GB/T12160-2002《单轴试验用引伸计的标定》规定，1级准确度的引伸计其标距相对误差为1%，这同样是矩形(均匀)分布。由JJF1059表3可知 ，所以引伸计标距测量B类相对标准不确定度 为：

　　c) 横截面积标准不确定度

　　根据GB/T228规定，测量每个尺寸应精确到±0.5%，横截面积测量误差为±1.0%，这同样是矩形(均匀)分布。由JJF1059表3可知 ，所以横截面积测量B类相对标准不确定度 为：

　　d) 变形测量不确定度

　　按GB/T 12160规定，1级准确度的引伸计系统相对误差为1%，这同样是矩形(均匀)分布。由JJF 1059表3可知，所以变形测量B类相对标准不确定度 为：

　　4 合成标准不确定度

　　考虑到力测量不确定度、引伸计标距测量不确定度、截面积测量不确定度和变形测量不确定度这四个分量之间彼此独立，由此可得E的相对合成标准不确定度uEr为：

　　所以，E的合成标准不确定度uE为：

　　5 扩展不确定度

　　在相对合成标准不确定度确定后，乘以一个包含因子k，即可得到扩展不确定度。根据JJF1059第7章“扩展不确定度的评定”可知，在大多数情况下(置信概率为95%)取k = 2，因此E的相对扩展不确定度Ur为：

　　而E的扩展不确定度U为：

　　表2给出了ReH、ReL、Rm、Rp、E的相对标准不确定度一览表。

　　表2 ReH、ReL、Rm、Rp、E的相对标准不确定度一览表

　　项 目 ReH ReL Rm Rp E

　　试验机力示值的相对标准不确定度， 0.58% 0.58% 0.58% 0.58% 0.58%

　　0.3级标准测力仪引入的相对标准不确定度， 0.15% 0.15% 0.15% 0.15% 0.15%

　　引伸计误差引入的Fp判读不确定度， - - - 0.6% -

　　计算机数据采集系统引入的不确定度， 0.2% 0.2% 0.2% 0.2% 0.2%

　　引伸计标距引入的不确定度， - - - - 0.58%

　　横截面积测量引入的相对标准不确定度， 0.58% 0.58% 0.58% 0.58% 0.58%

　　引伸计变形测量引入的相对不确定度， - - - - 0.58%

　　相对合成标准不确定度，uRr 0.86% 0.86% 0.86% 1.1% 1.2%

　　置信度95%的包含因子，k 2 2 2 2 2

　　相对扩展不确定度，Ur=k·uRr 1.7%. 1.7% 1.7% 2.1% 2.4%

　　6 表示形式

　　作者用2004年春季学期学生测试的实验数据进行测量不确定度分析。试验是在10台微机控制电子式万能试验机进行，引伸计为YUU5010，试验速度为2mm/min。试验时间2004年2月～6月，一共做了171根低碳钢和171根硬铝试样的。低碳钢试样的拉伸弹性模量E平均值为208GPa;硬铝试样的拉伸弹性模量E平均值为71.0 GPa，规定非比例延伸强度Rp0.2平均值为339MPa。表3是低碳钢和硬铝的E、Rp0.2测量不确定度表示形式。

　　表3 测量不确定度表示形式

　　材 料 合成标准不确定度u 扩展不确定度U 测量不确定度表示形式

　　低碳钢 E 2.5 GPa 5 GPa

　　硬 铝 E 0.84 GPa 1.7 GPa

　　Rp0.2 3.6 MPa 7 MPa

　　结论：落在测量不确定度范围内的试样，低碳钢E有127根，占试样总数的74.3 %，硬铝E有133根，占试样总数的77.8%，Rp0.2有65根，占试样总数的38.0%。弹性模量E是材料*稳定的常数，而强度与材料品质有关，上述数据说明本不确定度分析是正确的。