阻尼振动

　　阻尼振动是指，由于振动系统受到摩擦和介质阻力或其他能耗，而使振幅随时间逐渐衰减的振动，又称减幅振动、衰减振动。由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。

阻尼的类型

　　在任何一个动力学系统中，都存在某种形式的机械能耗散。在系统建模中，如果与系统中初始激励时总机械能相比，在感兴趣时间历程内耗散的机械能较小，那么阻尼可以忽略。即使对于高阻尼比系统，进行忽略阻尼项的分析也是有用的。这是为了研究几个关键的动态特性，如模态参数(无阻尼固有频率和振动模态)。

　　有若干种类型阻尼属于机械系统的内在表现。如果以这种方式提供的有效阻尼值不足于系统本身功能的发挥，那么外部阻尼装置可以添加进来，既可以在Z初的设计阶段，也可以在随后系统设计修改阶段。在研究机械系统时，有三种主要的阻尼机理很重要。它们是：

　　①内部阻尼(材料的)。

　　②结构阻尼(在铰链和界面处)。

　　③流体阻尼(通过流体一结构相互作用)。

　　内部(材料)阻尼来自于材料内部各种各样微观和宏观过程的机械能耗散。结构阻尼产生于机械结构各部件之间相对运动引起的机械能的耗散，这些部件存在一个共同接触点、铰接点或支撑物。流体阻尼产生于一个机械系统或它的部件在流体中移动时拖拉力和关联的动态相互作用引起的机械能耗散。

　　两种通用的外部阻尼器可以直接添加到机械系统上，用来改善系统的能量耗散特性。这两种阻尼器是：①被动阻尼器。②主动阻尼器。

　　被动阻尼器是通过各种运动来消耗能量的装置，不需要外界提供功率或使用作动器。主动阻尼器拥有需要外界提供功率的作动器。它们通过主动地控制需要阻尼的系统的运动来工作。阻尼器可能会被视为振动控制器。

阻尼振动的周期

　　物体做阻尼振动时，除了受到一个线性回复力F=-kx之外，还受到一个与运动方向相反的阻力。实验表明，在气体或液体中运动的物体，当速度较小时，所受的粘滞阻力f的大小与速率v成正比，即f=-bv=-bdx/dt(b为阻力系数，它取决于物体的形状、大小及介质的性质)。在上述情况下，振子的动力学方程为md²x/dt²=-kx-bdx/dt。

　　由于振动系统固有圆频率为√(k/m)=ω₀，令b/2m=β，β为阻尼系数。

　　这样上式化为：d²x/dt²+2βdx/dt+ω₀²x=0。

　　在β<β₀即弱阻尼情况下，它的解为x=A₀e^-βtcos(ωt+α)，其中ω=√(ω₀²-β²)。

　　阻尼振动显然已不是简谐运动，它的运动状态已经不具有简谐运动的那种完全的重复性，因此在简谐运动定义中的周期和频率在这里已不复存在，为了叙述的方便，在阻尼振动中，可以把相邻两次以同一方向经过平衡位置所经历的时间称为阻尼振动的周期，因此，

　　T'=2π/ω=2π/√(ω₀²-β²)。

　　上式表明阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期T=2π/ω₀。

　　在上述弱阻尼的情况下，振子从被扰动的位置回到平衡位置还有一定的动能，它能越过平衡位置而到达另一侧，于是形成阻尼振动，如果阻尼逐渐达到β=ω₀，则振子从被扰动的位置回到平衡位置时，动能恰好耗尽，这样就在平衡位置静止下来不发生振动，这种情况称为临界阻尼;如果阻尼进一步加大β>ω₀，则振子达不到平衡位置就动能耗尽，不能发生振动，这种情况叫做过阻尼。

　　从上面分析我们可以看出，关于阻尼振动振幅随时间变化的图像也应该是有条件的，需在阻力较弱，且阻力大小与运动速率成正比的情况下，阻尼振动周期才相对不变(不等于无阻尼的周期)。因此对于阻尼振动的周期需有以下正确认识：

　　(1)阻尼振动的周期大于无阻尼作用的周期;

　　(2)阻尼振动的周期不变是有条件的;

　　(3)阻尼振动周期不仅由振动系统自身因素决定还与所受阻力有关。

阻尼振动的能量损耗

　　阻尼振动也称减幅振动，是指在受到摩擦、介质阻力以及其他能耗时，振动系统随时间变化振幅逐渐衰减的振动，这实际上就是能量不断减少的振动，该系统即属于耗散系统。

　　1、阻尼振动能量损耗原因

　　外界的摩擦和介质阻力是始终存在的，弹簧振子和单摆在振动过程中必然要受到二者的影响，进而不断克服外界阻力做功，并随着能量的不断消耗，振幅也会不断减小，指导振动停止，我们可以将振动系统能量损耗的原因概括为两种：

　　一种是摩擦阻尼，受摩擦阻力影响，振动系统的能量会逐渐转变为热运动能量，如单摆摆动过程实际上就是摆的机械能转化为空气内能的过程;

　　另一种是辐射阻尼，受周围介质影响，振动系统的能量会逐渐转变为波动的能量，如琴弦的发声实际上就是在以波的形式向外辐射。

　　以水平弹簧振子为例，物体在阻尼运动中要受到自身重力、地面支撑力、弹簧弹性力和阻力的影响，根据微分方程理论，振动系统的运动状态可通过动力学方程获取。

　　2、阻尼振动动力学方程

　　阻尼振动系统的运动状态包括弱阻尼、过阻尼和临界阻尼三种，现利用动力学方程对这三种运动状态进行分析。

　　①弱阻尼状态

　　当阻力很小时，质点的运动学方程为：x=Ae^-Ucos(k+T)，式中，A和T为待定常数(与初始条件有关)，U表示阻尼因数，k表示包含的两因子。振动系统的振幅会随着时间的推移而不断变化，阻尼因数越小，振幅衰减就越慢。我们将质点在运动范围内不断做缩小的往复运动的状态，称为弱阻尼状态。

　　②过阻尼状态

　　当阻力足够大时，质点的运动学方程为：x=C₁e^-(U-k)t+C₂e^-(U-k)t，式中，C₁和C₂为待定常数(与初始条件有关)，此时质点的运动既不是周期的也不是往复的，会逐渐返回到平衡位置，直至停下来，这种状态即为过阻尼状态，阻尼因数越大，能耗损耗越慢，质点回到平衡位置所需要的时间也就越长。

　　③临界阻尼状态

　　当所受阻力刚好满足各因子时，质点的运动学方程为：x=(C₁+C₂t)e^-U，式中，C₁和C₂为待定常数(与初始条件有关)，此时质点的运动仍不是往复的，质点会很快回到平衡位置，这种状态即为临界阻尼状态。